篮球场上真有“热手”吗？

    30年来，围绕篮球场上“热手”现象的争论表明，统计数据特别是百分数不一定能帮助我们理解体育运动的秘密，简单地诉诸于“比例的平均值”，可能与事实背道而驰。

    “篮筐像大海那么宽，投篮命中简直比开门还容易！”每当有人在篮球场上打出惊艳表现，他们免不了会如此炫耀一番。由此，产生了围绕篮球场上“热手”的各种议论。

    与球迷们的认知不同，近30年来，体育运动专家乃至统计学家，大多对“热手”持否定态度，认为球员的真实命中率完全遵循随机规律。1985年，美国斯坦福大学和康奈尔大学的3位学者更是在一篇探讨“热手效应”的论文中宣称：关于某位球员“手热”的通俗说法在统计学上找不到合理依据，球迷们的所见所感，不过是一种基于自我暗示的错觉。

    从此，学者和球迷就这个问题陷入了长久的分裂，但后者始终无法推翻前者的论断。直到今年秋天，意大利经济学家约书亚·米勒和亚当·桑胡霍才从学术角度入手，令天平重新向支持“热手”存在的一方倾斜。美国《华尔街日报》在报道中提到，这两位学者并非30年来仅有的挑战传统学术共识者，但他们的确指出了以往研究方法中的一个重大瑕疵。

    这个瑕疵为何能够影响人们对“热手”现象的判断？为了将其背后的理论原因由繁化简，美国《Slate》杂志网站在相关报道中，引申出了若干个生动的示例——

    让我们想象一下，在一个普通得不能再普通的小镇上，男孩和女孩的平均比例是多少？相信大多数人都会毫不犹豫地回答“1”。这是很自然的。正常情况下，男孩和女孩的人数大致是相同的，所以，他们的平均比例难道不应该是1或接近1吗？

    这种判断并不准确。标准答案不是1，而是无穷大。这是基于一个看似诡辩，却在数学上无懈可击的理由：如果某户人家只有儿子没有女儿，这家人的男女比率就是无穷大；而在对一组数据做平均的时候，哪怕其中有一个数据是无穷大，该组的平均值也得是无穷大。

    简单地讲，“平均值的比例”并不等同于“比例的平均值”。再以某个学区进行的一次统考为例：一所普通高中有120人参加测试，60人即50%及格；另一家私塾只有两人参加测试，两人都及格，及格率为100%。于是，当地负责教育的官员四处嚷嚷：“本学区的平均及格率为75%”。从某种意义上讲，这是事实。但如果我们从这个“比例的平均值”中简单地得出“这个学区的学生成绩还不错”的结论，则显然与真实情况相去甚远。

    接下来，让我们回到篮球场上。30年前的研究之所以认为“热手”现象不存在，就是基于对同一位球员在连续投进和连续投丢后继续投篮时的命中率的研究——3位学者考察的对象正是“命中率的平均值”，并宣称这个值在3次命中后与3次投失后大致持平。

    现在我们已经知道，只是简单地将比例平均，可能导致计算结果与真实情况相悖，甚至在“无穷大”并未加入时就是如此，这正是上面两个例子说明的问题。据此，米勒和桑胡霍发现了传统研究方法的缺陷，并在论文中大胆主张：如果没有“热手”，即投篮命中完全是随机且互不相关的，那么，投失3次后的平均命中百分比将高于命中3次后的平均命中百分比；进一步推导可知，若两个平均值大致相同，则意味着运动员在连续命中数次后投篮会更准。换言之，1985年的研究错把支持“热手”存在的证据当成了否定它的证据。

    这听起来还是别扭。因此，《Slate》设想了第三个例子：同样是在第一个例子里的小镇上，各个家庭中的男孩更可能有妹妹，还是弟弟？大家不用计算就知道，这两种可能性基本相同。但我们依然要根据下面这张表格，来考察一个3胎家庭可能存在的8种情形：

    如果将两个纵列的数据进行简单平均，就会发现：有妹妹的男孩的平均百分比为50%，有弟弟的男孩的平均百分比只有31%。这是否意味着，生了一个男孩，随后而来的更可能是女孩？稍有常识的人都会予以否定。这个事例只能再度说明，如果只是简单地诉诸于“比例的平均值”，就容易与事实背道而驰；到了竞技场上，统计数据不一定能帮助我们理解体育运动的秘密。

    如今，我们可以认真地讨论篮球运动员的手感冷热了吗？情况似乎正在变得乐观。